Розв’язування задач на подільність передбачає застосування ознаки подільності ( матеріал на сайті за посиланням: «Ознаки подільності на 2,3,5,9,10», «Ознаки подільності на 4,7,11,13» ), та властивості подільності чисел, сформульовані далі.
1. Кожен множник розкладу деякого числа є дільником цього числа.
Розглянемо задачу. Знайти дільники числа n=2•3•5•7.
Розв’язання. Множники 2, 3, 5, 7 є дільниками числа n.
Цей добуток можна записати іншими способами: n=6•5•7=3•10•7=3•5•14=…. Множники 6, 10, 14 також є дільниками числа n.
Це означає, що всі добутки, які можна утворити з простих множників 2, 3, 5, 7, також являються дільниками числа n.
Отже, дільники числа n є 2, 3, 5, 7, 2•3=6, 2•5=10, 2•7=14, 3•5=15, 3•7=21, 5•7=35, 2•3•5=30, 2•3•7=42, 2•5•7=70, 3•5•7=105, 2•3•5•7=210.
2. Якщо один з множників ділиться на деяке число, то й добуток ділиться на це число.
Наприклад. Добуток чисел 16•81 буде ділитися на 8, на 27 , на 9 тощо. Оскільки 16 ділиться на 8, 81 ділиться на 27, 9 тощо…
3. Якщо один множник ділиться на х, а другий множник ділиться на число у, то добуток ділиться на ху.
Задача. Не перемножуючи, встановіть чи ділиться добуток 148•75 на 2, на5, на 10.
Розв’язання.
Оскільки 148 ділиться на 2, то добуток ділиться на 2.
Оскільки 75 ділиться на 5, то добуток ділиться на 5.
Оскільки 148 ділиться на 2, а 75 ділиться на 5, то 148•75 ділиться на 2•5=10.
Задача. Доведіть, що натуральні числа, записані трьома однаковими цифрами, діляться на 37.
Задача. Доведіть, що натуральні числа, записані трьома однаковими цифрами, діляться на 37.
Розв’язання. Всі трицифрові числа з однаковими цифрами можна подати у виді 111•n, де n – довільне натуральне число.
Оскільки 111 ділиться на 37, то й 111•n ділиться на 37.
Задача. Скількома нулями закінчується число, яке дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до 32.
Розв’язання. Якщо розкласти всі множники цього добутку на прості числа, то в утвореному добутку буде 7 п’ятірок, а двійок більше. Кожен добуток п’ятірки і двійки дає нуль в кінці добутку, отже число закінчується сімома нулями.
4. Якщо натуральне число n ділиться на число m, то воно ділиться і на дільники числа m.
Задача. До числа 55 зліва і справа приписати по одній цифрі, щоб одержане число ділилося на 18. Знайти ці числа.
Розв’язання. 18 ділиться на 2 і на 9, тому й шукане число ділиться на 9 і на 2. Справа можна дописати парні цифри 0, 2, 4, 6 або 8; тоді зліва можна дописати відповідно 18-(5+5+0)=8, 18-(5+5+2)=6, 18-(5+5+4)=4, 18-(5+5+6)=2 або 18-(5+5+8)=0. Останній випадок не задовольняє умову задачі, оскільки тоді число стає трицифровим. Отже, 8550, 6552, 4554, 2556 – шукані числа.
Задачі для дослідження властивостей цілих чисел
1. Чи вірно, що:
а) число 55 – 54 + 53 ділиться на 21;
б) число 9572 – 432 ділиться на 1000?
Дослідження.
а) Перетворимо даний вираз:
55 – 54 + 53 = 53(52 – 5 + 1) = 53 ∙ 21.
Як бачимо, дане число ділиться на 21.
_________________________________________________
б) Перетворимо даний вираз:
9572 – 432 = (957 + 43)(957 – 43) = 1000∙914.
Як бачимо, даний вираз ділиться на 1000.
_________________________________________________
2. Чи вірно, що при кожному натуральному значенніn:
а) (n + 1)2 - (n – 1)2 ділиться на 4;
б) (3n + 2)2 - (3n – 2)2 ділиться на 24;
в) (5n + 3)2 – (5n – 3)2 ділиться на 60?
Дослідження.
а) Перетворимо даний вираз:
(n + 1)2 - (n - 1)2 = (n + 1 + n - 1)(n + 1 - n + 1) = 2n∙2 = 4n.
Отриманий вираз кратний 4, тобто ділиться на 4.
б)(3n + 2)2 - (3n - 2)2 = (3n + 2 +3n - 2)(3n + 2 - 3n + 2) = 6n∙4 = 24n.
Отриманий вираз кратний 24, тобто ділиться на 24.
Отриманий вираз кратний 60, тобто ділиться на 60.
Отриманий вираз кратний 24, тобто ділиться на 24.
Отриманий вираз кратний 60, тобто ділиться на 60.
в)(5n + 3)2 - (5n - 3)2 = (5n + 3 + 5n - 3)(5n + 3 – 5n + 3) = 10n∙6 = 60n.
___________________________________________________
3. Чи вірно, що квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів?
Дослідження.
Нехай дано два додатних числа а і b. Знайдемо квадрат їх суми:
(a + b)2 = а2 + 2аb + b2 = (а2 + b2) + 2аb.
Оскільки а і b – числа додатні, величина 2аb – також число додатне, отже, квадрат суми двох додатних чисел більший від суми їх квадратів.
___________________________________________________
4. Чи вірно, що квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку?
Дослідження.
Нехай дано два числа n і m. Знайдемо квадрат їх суми:
(n + m)2 = n2 + 2nm + m2 = 2nm + (n2 + m2).
Величина m2 + n2 додатна при будь-яких значеннях nі m, таким чином, квадрат суми двох чисел більший від їх подвоєного добутку.
___________________________________________________
5. Чи вірно, що різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4?
Дослідження.
Нехай дано два непарних числа: 2а + 1 і 2b + 1. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:
(2а + 1)2 - (2b + 1)2 = (2а + 1 + 2b + 1)(2а + 1 – 2b - 1) = (2а + 2b+ +2)(2а – 2b) = 2(а + b + 1) ∙2(а - b) = 4(а + b+ 1)(а - b).
Отриманий вираз кратний 4, отже, різниця квадратів двох непарних чисел ділиться на 4.
__________________________________________________
6. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8?
Дослідження.
Нехай дано два послідовних непарних числа 2а + 1 і 2а + 3. Знайдемо різницю квадратів цих чисел:
(2а + 3)2 - (2а + 1)2 = (2а + 3 + 2а + 1)(2а + 3 - 2а - 1) = (4а + 4)∙2 = 4 ∙2(а + 1) = 8(а + 1).
Отриманий вираз кратний 8, отже, різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.
__________________________________________________
7. Чи вірно, що різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться?
Дослідження.
Дано два послідовних парних числа: 2а і 2а + 2.
Знайдемо різницю квадратів цих чисел:
(2а + 2)2 - (2а)2 = (2а + 2 + 2а)(2а + 2 - 2а) = (4а + 2)∙2 = 2(2а + 1) ∙ 2 = 4(2а + 1).
Як бачимо, різниця квадратів двох послідовних парних чисел на 8 не ділиться, оскільки 2а + 1 –число непарне.
__________________________________________________
8. Чи вірно, що сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів?
Дослідження.
Нехай дано два послідовних цілих числа а і а + 1.
Знайдемо їх суму:
а + а + 1 = 2а + 1.
Знайдемо різницю їх квадратів:
(а + 1)2 - а2 = (а + 1 + а)(а + 1 - а) = 2а + 1.
Як бачимо, сума двох послідовних цілих чисел дорівнює різниці їх квадратів.
____________________________________________________
9. Чи вірно, що непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел?
Дослідження.
Будь-яке непарне число можна представити у вигляді виразу 2а + 1. Перетворимо цей вираз:
2а + 1 = 2а + 1 + а2 - а2 = (а2 + 2а + 1) - а2 = (а + 1)2 - а2.
Як бачимо, непарне число дорівнює різниці квадратів двох деяких цілих чисел.
_____________________________________________________
10. Чи вірно, що квадрат непарного числа при діленні на 8 дає в остачі 1?
Дослідження.
Нехай дано непарне число 2а + 1.
Квадрат цього числа дорівнює:
(2а + 1)2 = 4а2 + 4а + 1 = 4а(а + 1) + 1;
число а(а + 1) – парне при будь-яких значеннях а, тоді число 4а(а +1) – кратне 8, тобто ділиться на 8. Отже, квадрат будь-якого непарного числа при діленні на 8 дає в остачі 1.
_____________________________________________________
11. Чи вірно, якщо сума двох натуральних чисел ділиться на 10, то квадрати цих чисел закінчуюються однаковими цифрами?
Дослідження.
Якщо квадрати двох натуральних чисел, сума яких ділиться на 10, закінчуюються однаковими цифрами, то різниця квадратів цих чисел закінчується цифрою 0, тобто кратна 10.
Нехай дано числа а і b, сума яких кратна 10, тоді:
а2 - b2 = (а + b) (а - b).
Як бачимо, а2 - b2 ділиться на 10, оскільки а + bділиться на 10. Отже, квадрати даних чисел закінчуюються однаковими цифрами.
_____________________________________________________
Запитання та задачі для перевірки знань
1. Знайти цифри а та b так, щоб число з такими цифрами 32а35717b ділилося на 72.
Відповідь. a =2, b = 6.
2. Знайти цифри а та b так, щоб число з такими цифрами 62аb427 ділилося на 99.
Відповідь. а = 2, b = 4.
3. Чи вірно, що, якщо в запису 3*4*1*0*8*2*40923*0*320*2*56 на місце зірочок поставити в будь-якому місці цифри 0,1, 2, 3, …, 7, 8, 9(кожну один раз), то отримане число ділиться на 396?
Відповідь. вірно.
4. Приписати до числа19961996 справа три цифри так, щоб отримане число ділилося на 7, на 8, і на 9.
Відповідь. 040 або 544.
5. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що закінчується на цифри 74?
Відповідь: не існує.
6. Чи вірно, що існує куб натурального числа, що закінчується на цифри 228?
Відповідь: не існує.
7. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що складається із: нулів і одиниць, в якому 300 одиниць?
Відповідь: не існує.
8. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що складається із: нулів і трійок?
Відповідь: не існує.
9. Чи вірно, що існує квадрат натурального числа, що складається із: вісімок і шісток?
Відповідь: не існує.
Також доволі цікавий матеріал на тему Подільність цілих чисел: https://www.mathros.net.ua/oznaky-podilnosti.html
ОтветитьУдалить